使用COMSOL模拟量子力学中的隧穿现象

使用COMSOL模拟量子力学中的隧穿现象

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WKB 隧穿模型

选择热电子发射以添加额外电流贡献。

如上文所述，对于与势垒相关的变量，电子和空穴的计算方式不同，所以我们为每种类型的载流子引入了不同的特征，它们在“模型开发器”中被添加到异质结或肖特基接触边界条件的子节点。请参考下方示例截图。

“模型开发器”的树结构和 WKB 隧穿模型，电子 特征的设置窗口。

在上图的设置 窗口中，边界选择 通常指定添加了额外电流密度的边界。域选择则指定势垒所在的相邻域。第二个边界选择指定了与第一个边界选择相对的域的边界。隧穿基本发生在选定域内，即第一个和第二个边界选择之间。

渐变异质结模型

我们通过在空间上改变 AlxGa1-xAs 层中铝的摩尔分数来形成三角形势垒层。在 COMSOL Multiphysics® 软件中，我们能够基于摩尔分数等局部变量，以及参考温度、晶格温度和掺杂浓度等参数和变量，直接创建材料并定义材料属性。摩尔分数则通过空间变化变量来定义。使变量在空间中变化有两种方法：使用显式表达式，或者在不同域内使用不同定义。我们在模型中利用了这两种方法。如下方截图所示，我们在定义下创建了多个变量节点，在不同域内应用不同的掺杂变量和摩尔分数。此外，我们利用内置的空间坐标变量 x 使摩尔分数在“域 2”内具有空间依赖性。

通过在 定义下添加多个节点（每个域对应一个节点），对不同的域应用不同的掺杂与摩尔分数变量。内置变量 x 使变量Al_frac具有空间依赖性。

上文所定义的空间依赖性变量可以用在材料与物理场的定义中，如下图所示。

我们将掺杂变量N_D直接输入到掺杂特征中，如下方截图所示。

在掺杂浓度的定义中使用空间因变量N_D。

我们利用摩尔分数变量Al_frac在材料定义中定义了一个便捷符号 x，此符号位于基本子节点的设置窗口的局部属性栏中，并被用于定义态密度（DOS）有效质量、相对介电常数、带隙、电子亲和性和迁移率。请注意，利用前缀 def，我们可以访问定义在基本 子节点中、带def标签的符号。例如，在下方截图中，输入框中的表达式def.x可用于访问有效质量me和mh。

通过符号def.x使用材料定义中的空间因变量Al_frac。

当访问物理场设置中的材料属性时，可以利用前缀material。以下方的截图为例，它利用表达式material.def.x来查找符号x。前文截图显示另一个示例，它利用表达式material.def.me访问电子有效质量。

使用前缀material访问物理场设置中的材料属性。

建立曲线坐标

如前文所述，（在通用几何的内置变量x、y和 z的简单表达式不可行的情况下）我们可以利用曲线坐标 接口沿电场线与隧穿边界建立坐标。此模型几何是一个简单的矩形（见 Ref. 1 中的图 2b），电场线和隧穿边界坐标简单地表示为 x 和 y。不过为了进行演示，我们仍然在此模型中使用曲线坐标 接口。如下方截图所示，我们在“模型开发器”中创建了两个包含扩散方法 选项的曲线坐标 接口，一个用于电场线，另一个用于隧穿边界。

入口边界的设置窗口。

将入口和出口边界置于在势垒域的另一侧，这样可以使解沿期望坐标发生变化。两个曲线坐标接口的解如下图所示。

两个曲线坐标 接口的解。垂直等值线是电场线的坐标，水平等值线是隧穿边界的坐标。

在此示例中，域 2 恰好覆盖了感兴趣区域，顺势对势垒进行线积分。通常情况下，我们可以使用几何内的不同边界来定义感兴趣区域，这些边界可能与材料边界重合，也可能不重合。

对于任意几何，曲线坐标 接口的解也许与电场线坐标不完全重合。不过，它为我们提供了良好的近似，并省去了通过数值方式搜索场线的麻烦。

上图中的解可用于定义 WKB 隧穿特征的坐标变量。下方截图显示了变量定义，前文截图显示了 WKB 特征的设置。

设置窗口显示隧穿变量的定义。

模拟隧穿效应的其他物理场设置

由于隧穿效应对势垒的形状高度敏感，所以我们改用有限元准费米能级公式。考虑到因变量在每个网格单元内均为常数，所以缺省的有限体积公式需要更加精细的网格。

我们在模型树中建立两个异质结边界条件，借此计算与比较包含与不包含隧穿效应的结果。

求解渐变异质结模型

该模型分阶段进行求解。“研究 1”计算了无隧穿效应的情况。因为曲线坐标在整个模型中不变，所以“研究 2”仅进行一次求解。

“研究 3”求解了包含隧穿效应的情况，而且只包含半导体物理场。为了提供良好的初始条件，我们使求解变量的初始值 指向“研究 1”的解。由于隧穿特征所需的曲线坐标 接口未包含在研究步骤中，所以我们使不求解的变量值 指向“研究 2”中的解，从而对曲线坐标进行定义。下方截图显示了相关设置。

研究设置。注意求解变量的初始值和不求解的变量值使用了不同的研究。

另外两项研究采用了相似的求解变量的初始值 和不求解的变量值 设置，主要计算低温下的情况。对于非线性方程系统，我们需要为辅助扫描建立一个良好的初始条件。我们发现，在温度较低的情况下，如果对 I-V 曲线从低电压扫描到高电压，收敛会更加容易。

比较仿真结果与参考文献

下图比较了温度为 300 K 时，有无隧穿效应分别对应的电流密度与电压（J-V）曲线。结果与 Ref. 1 中的图 12 很好地吻合。

比较有和没有隧穿效应情况下的 J-V 曲线。

为了解释势垒宽度对隧穿电流大小的影响，文献图 13 比较了两个偏置电压下的导带结构示意图和电子准费米能级。我们的模型准确地还原了相关数据，如下所示。

两个偏置电压下的导带图说明了势垒宽度对隧穿效应产生的影响。

最后，下图表明不同温度下的 J-V 模拟曲线与文献的图 14 基本一致。

不同温度下的 J-V 曲线。

结语

在本篇博客文章中，我们利用渐变异质结基准模型演示了 WKB 特征，并介绍了如何创建用户定义的三元材料属性。我们讨论了在研究设置中定义求解变量的初始值 和不求解的变量值 的基本技巧，这些技巧可应用于很多建模情景。我们希望您会将这些功能与技巧应用到仿真工作中。

如希望亲手尝试“异质结隧穿”模型，请单击下方按钮跳转至“案例下载”页面。登录 COMSOL Access 帐户后，您可以下载此示例的文档，如果您拥有有效的软件许可证，还可以下载 MPH 文件。